Soutenance de doctorat de Pierre-Antoine Bernard

Spins et fermions libres sur des réseaux associés à des fonctions bispectrales

Cette thèse traite de systèmes quantiques définis sur des réseaux. Elle comprend cinq parties abordant différents aspects de modèles exactement résolubles décrivant des spins ou des fermions libres, sur des réseaux inhomogènes ou sur des graphes distance-réguliers. Deux parties examinent d’abord certaines propriétés physiques de ces systèmes. Elles font intervenir des opérateurs de Heun algébriques, dont la diagonalisation est étudiée dans la troisième partie. Les deux dernières parties explorent les q-analogues et les généralisations multivariées des schémas d’association P- et Q-polynomiaux, qui entrent en jeu dans l’étude de l’intrication de fermions libres évoluant sur des graphes distance-réguliers.

Dans la première partie, des modèles sur réseaux inhomogènes (c’est-à-dire dont la dynamique locale dépend de la position dans le réseau) sont introduits et analysés. On y étudie l’intrication contenue dans l’état fondamental de chaînes de spin XX inhomogènes qui sont diagonalisées à partir des polynômes du tableau d’Askey. La bispectralité de ces polynômes permet de décrire l’hamiltonien d’intrication en termes d’un opérateur de Heun algébrique. Les propriétés de ces chaînes sont également explorées dans un cadre hors équilibre. Les courants de spin et d’énergie sont quantifiés lorsque les chaînes sont connectées à des bains de chaleur à des températures différentes. Il est démontré que les inhomogénéités ont un impact majeur sur la conductivité. En outre, des modèles exactement résolubles de fermions libres sur des réseaux inhomogènes de dimension arbitraire sont introduits. La loi d’échelle pour l’entropie d’intrication associée à leur état fondamental est analysée.

Dans la seconde partie, cette même loi d’échelle est considérée pour des modèles de fermions libres évoluant sur les sommets de graphes distance-réguliers : les graphes de Hamming, les graphes de Johnson et les hypercubes pliés. Les calculs impliquent la décomposition en composantes irréductibles du module standard de l’algèbre de Terwilliger des schémas d’association issus de ces graphes. Ces calculs permettent de démontrer une loi d’aire stricte, malgré la nature critique des modèles qui pourrait suggérer la présence d’une correction logarithmique.

Dans la troisième partie, des opérateurs de Heun algébriques sont diagonalisés par la méthode de l’anstaz de Bethe algébrique. Les cas étudiés correspondent aux opérateurs de Heun liés aux problèmes bispectraux des polynômes de Chebyshev, Krawtchouk, Racah et q-Racah. Les valeurs propres sont obtenues en termes de racines de Bethe. Des applications à l’étude de l’intrication et des problèmes de limitation en temps et en fréquence sont discutées.

Dans la quatrième partie, la relation entre trois q-analogues du graphe de l’hypercube est élucidée. Un premier q-analogue est introduit sur la base du lien entre l’hypercube et les états de Dicke, qui est mis à profit pour concevoir des protocoles de manipulation d’états symétriques en information quantique. Ce q-analogue est ensuite identifié comme un quotient d’un second q-analogue basé sur les réseaux de sous-espaces. Ce dernier est lui-même démontré être un quotient d’un troisième q-analogue de l’hypercube construit à partir des graphes polaires duaux symplectiques. Ces graphes sont associés à des schémas d’association P- et Q-polynomiaux, et la décomposition en composantes irréductibles du module standard de leur algèbre de Terwilliger est obtenue.

Dans la cinquième partie, la notion de schéma d’association P- et/ou Q-polynomial multivarié est définie. Plusieurs exemples de tels schémas sont présentés. En particulier, la structure P- et Q-polynomiale bivariée des schémas basés sur les espaces atténués est examinée en détail. Une définition de graphe m-distance-régulier est également proposée, généralisant la relation classique entre graphes distance-réguliers et schémas P-polynomiaux au cadre multivarié.