Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux
La recherche et l'analyse de modèles exactement résolubles jouent un rôle fondamental dans l'élaboration des théories visant à décrire et expliquer les phénomènes naturels. De manière générique, un modèle est dit exactement résoluble s'il est possible d'en exprimer mathématiquement les quantités d'intérêt de manière explicite. L'importance de ces modèles en physique tient à plusieurs éléments: ils constituent un outil de choix dans la validation des principes théoriques, ils permettent d'accéder à une compréhension plus fine du contenu physique des théories qui les sous-tendent et ils servent de fondations pour la conception de modèles plus raffinés. L'étude des modèles exactement résolubles est aussi un lieu de rencontre privilégié entre la physique théorique et les mathématiques pures, deux disciplines qui se sont à de multiples reprises fertilisées mutuellement par le passé.
Les symétries sont le dénominateur commun des modèles exactement résolubles. On observe en effet qu'il n'y a de solutions exactes qu'en présence de symétries. Celles-ci se présentent sous diverses formes et sont décrites mathématiquement par des structures algébriques variées telles que les groupes de Lie ou les algèbres associatives. Les fonctions spéciales sont quant à elles le langage dans lequel sont écrites les solutions exactes. Elles encodent les symétries des modèles dans lesquels elles apparaissent.
Ma thèse porte sur l'interaction entre les systèmes quantiques superintégrables, qui sont exactement résolubles, les structures algébriques qui en décrivent les symétries et les fonctions spéciales qui leurs sont associés.
